On the multi-symplectic structure of the Serre-Green-Naghdi equations

In this short note, we present a multi-symplectic structure of the Serre-Green-Naghdi (SGN) equations modelling nonlinear long surface waves in shallow water. This multi-symplectic structure allow the use of efficient finite difference or pseudo-spectral numerical schemes preserving exactly the multi-symplectic form at the discrete level.Comment: 10 pages, 1 figure, 30 references. Other author's papers can be downloaded at http://www.denys-dutykh.com

New asymptotic heat transfer model in thin liquid films

In this article, we present a model of heat transfer occurring through a li\-quid film flowing down a vertical wall. This new model is formally derived using the method of asymptotic expansions by introducing appropriately chosen dimensionless variables. In our study the small parameter, known as the film parameter, is chosen as the ratio of the flow depth to the characteristic wavelength. A new Nusselt solution should be explained, taking into account the hydrodynamic free surface variations and the contributions of the higher order terms coming from temperature variation effects. Comparisons are made with numerical solutions of the full Fourier equations in a steady state frame. The flow and heat transfer are coupled through Marangoni and temperature dependent viscosity effects. Even if these effects have been considered separately before, here a fully coupled model is proposed. Another novelty consists in the asymptotic approach in contrast to the weighted residual approach which have been formerly applied to these problems.Comment: 28 pages, 6 figures, 39 references. Other author's papers can be downloaded at http://www.denys-dutykh.com

Numerical study of the generalised Klein-Gordon equations

24 pages, 10 figures, 56 references. Other author's papers can be downloaded at http://www.denys-dutykh.com/International audienceIn this study, we discuss an approximate set of equations describing water wave propagating in deep water. These generalized Klein-Gordon (gKG) equations possess a variational formulation, as well as a canonical Hamiltonian and multi-symplectic structures. Periodic travelling wave solutions are constructed numerically to high accuracy and compared to a seventh-order Stokes expansion of the full Euler equations. Then, we propose an efficient pseudo-spectral discretisation, which allows to assess the stability of travelling waves and localised wave packets

Modélisation mathématique des films minces avec applications aux transferts de chaleur

Nous présentons un modèle de transfert thermique à travers un film liquide s'écoulant le long d'une paroi verticale.Ce nouveau modèle est formellement obtenu à partir d'un dévelopement asymptotique en introduisant des variables adimensionnées bien choisies. Dans notre étude, le petit paramètre est le rapport épaisseur sur longueur caractéristique des ondes. Une nouvelle solution de Nusselt est obtenue en prenant en compte les variations hydrodynamqiues de la surface libre et les contributions des termes provenant des effets de variations de la température. Les transferts de fluide et de chaleur sont couplés à travers l'effet de Marangoni et des effets de viscosité. Même si ces efffets ont été considérés avant séparément, un modèle couplé est présenté ici. Une autre nouveauté consiste en l'approche asymptotique en comparaison avec l'approche des résidus pondérés qui a été appliqué avant à ces problèmes. Des comparaisons numériques seront présentées également

Intégrateurs géométriques: Application à la Mécanique des Fluides

A recent approach to study the equations from Fluid Mechanics consists in considering the symmetry group of equations. Succes of theoretical development, specially in turbulence, has justified the relevance of this approach. On the numerical side, the integrating methods based on arguments related to the geometrical structure of equations are called geometric integrators. In the first part of this thesis, a class of such integrators is introduced: symplectic integrators for hamiltonian systems, which are probably the most well known geometric integrators. In the second part, variational integrators are outlined, constructed in order to reproduce conservation laws of lagrangian systems. However most of Fluid Mechanics equations cannot be derived from a Lagrangian. In the last part of this thesis, a method of construction of numerical schemes that preserves equations symmetry is exposed. This method is based on a modern formulation of moving frames. A contribution to the development of this method is proposed; this allows to obtain an invariant numerical scheme that owns an order of accuracy. Examples from Fluid Mechanics model equations are detailled.Une approche récente permettant d'étudier les équations issues de la Mécanique des Fluides consiste à considérer les symétries de ces équations. Les succès des développements théoriques, notamment en turbulence, ont justifié la pertinence d'une telle approche. Sur le plan numérique, les méthodes d'intégration construites sur des arguments liés à la structure géométrique des équations s'appellent les intégrateurs géométriques. Dans la première partie de la thèse, on présente la classe d'intégrateurs géométriques probablement la plus connue; ce sont les intégrateurs symplectiques pour les systèmes hamiltoniens. Dans une seconde partie, on introduit les intégrateurs variationnels, construits pour reproduire les lois de conservation des systèmes lagrangiens. Cependant, la plupart des équations de la Mécanique des Fluides ne dérive pas d'un Lagrangien. On expose alors dans la dernière partie une méthode de construction de schémas numériques respectant les symétries d'une équation. Cette méthode est basée sur une formulation moderne des repères mobiles. On présente une contribution au développement de cette méthode; elle permet d'obtenir un schéma invariant possédant un ordre de précision déterminé. Des exemples issus des équations modèles de la Mécanique des Fluides sont traités

Lie Symmetry Preservation by Finite Difference Schemes for the Burgers Equation

Invariant numerical schemes possess properties that may overcome the numerical properties of most of classical schemes. When they are constructed with moving frames, invariant schemes can present more stability and accuracy. The cornerstone is to select relevant moving frames. We present a new algorithmic process to do this. The construction of invariant schemes consists in parametrizing the scheme with constant coefficients. These coefficients are determined in order to satisfy a fixed order of accuracy and an equivariance condition. Numerical applications with the Burgers equation illustrate the high performances of the process

A new construction for invariant numerical schemes using moving frames

International audienceWe propose a new approach for moving frame construction that allows to make finite difference scheme invariant. This approach takes into account the order of accuracy and guarantees numerical properties of invariant schemes that overcome those of classical schemes. Benefits obtained with this process are illustrated with the Burgers equation. To cite this article: A. Chhay, A. Hamdouni, C. R. Mecanique 333 (2009). Résumé Une construction nouvelle des schémas invariants utilisant les repères mobiles. On propose une procédure nouvelle de construction des repères mobiles permettant de rendre invariant les schémas de discrétisation en différences finies. Elle prend en compte l'ordre de consistance et garantit aux schémas invariants de meilleures performances que celles des schémas classiques. On illustre les performances de cette approche sur l'exemple de l'´ equation de Burgers. Pour citer cet article : M. Chhay, A. Hamdouni, C. R. Mecanique 333 (2009). Version française abrégée Les méthodes numériques construites afin de préserver certaines propriétés liéesliéesà la structure géométrique deséquationsdeséquations s'appelle les intégrateurs géométriques. Elles permettent de traduire naturellement le com-portement qualitatif des solutions ainsi que de réduire les instabilités numériques. En particulier, les Email addresses: [email protected] (Marx Chhay), [email protected] (Aziz Hamdouni). schémas invariants permettent de conserver le groupe de symétrie deséquationsdeséquations et de réduire les erreurs numériques. Une méthode de construction de tels schémas a ´ eté développée par M. Fels et P. J. Olver. Elle est basée sur le concept de repère mobile. Dans cette procédure, la qualité des solutions numériques d'un schéma invariant estentì erement conditionnée par le choix du repère mobile associé au groupe de symétrie. Ce choix est déterminé par le procédé de normalisation d' ´ E. Cartan qui permet de ramener la détermination du répère mobile associéassociéà un groupe continue au choix d'une section transverse de l'orbite d'unélémentunélément. Ce procédé possède l'avantage d'exhiber une famille importante de schémas invariant mais ne garantit pas au schéma obtenu des qualités numériques meilleures que le schéma d'origine. Nous pro-posons une méthode de construction nouvelle des schémas invariants utilisant les repères mobiles. Cette méthode peutêtrepeutêtre décrite sous la forme algorithmique suivante : (i) On considère un schéma discrétisant une EDP et le groupe de symétrie dépendant de paramètres réels de l'EDP, (ii) on transforme le schéma afin d'obtenir un schéma paramétrisé, (iii) on suppose une forme algébrique des paramètres en fonction de coefficients réels, (iv) on calcule les conditions d'´ equivariance afin que les paramètres de transformation deviennent des repères mobiles, (v) enfin, on calcule les conditions sur les coefficients réels pour que le schéma transformé soit d'un ordre de précision fixé. Ainsi on obtient un schéma invariant dont l'ordre de consistance est déterminé. On illustre les performances de cette approché a travers la construction d'un schéma invariant pour l'´ equation de Burgers

Intégrateurs géométriques (application à la mécanique des fluides)

Une approche récente permettant d'étudier les équations issues de la Mécanique des Fluides consiste à considérer les symétries de ces équations. Les succès des développements théoriques, notamment en turbulence, ont justifié la pertinence d'une telle approche. Sur le plan numérique, les méthodes d'intégration construites sur des arguments liés à la structure géométrique des équations s'appellent les intégrateurs géométriques. Dans la première partie de la thèse, on présente la classe d'intégrateurs géométriques probablement la plus connue; ce sont les intégrateurs symplectiques pour les systèmes hamiltoniens. Dans une seconde partie, on introduit les intégrateurs variationnels, construits pour reproduire les lois de conservation des systèmes lagrangiens. Cependant, la plupart des équations de la Mécanique des Fluides ne dérive pas d'un Lagrangien. On expose alors dans la dernière partie une méthode de construction de schémas numériques respectant les symétries d'une équation. Cette méthode est basée sur une formulation moderne des repères mobiles. On présente une contribution au développement de cette méthode; elle permet d'obtenir un schéma invariant possédant un ordre de précision déterminé. Des exemples issus des équations modèles de la Mécanique des Fluides sont traités.A recent approach to study the equations from Fluid Mechanics consists in considering the symmetry group of equations. Succes of theoretical development, specially in turbulence, has justified the relevance of this approach. On the numerical side, the integrating methods based on arguments related to the geometrical structure of equations are called geometric integrators. In the first part of this thesis, a class of such integrators is introduced: symplectic integrators for hamiltonian systems, which are probably the most well known geometric integrators. In the second part, variational integrators are outlined, constructed in order to reproduce conservation laws of lagrangian systems. However most of Fluid Mechanics equations cannot be derived from a Lagrangian. In the last part of this thesis, a method of construction of numerical schemes that preserves equations symmetry is exposed. This method is based on a modern formulation of moving frames. A contribution to the development of this method is proposed; this allows to obtain an invariant numerical scheme that owns an order of accuracy. Examples from Fluid Mechanics model equations are detailled.LA ROCHELLE-BU (173002101) / SudocSudocFranceF

A review of some geometric integrators

Abstract Some of the most important geometric integrators for both ordinary and partial differential equations are reviewed and illustrated with examples in mechanics. The class of Hamiltonian differential systems is recalled and its symplectic structure is highlighted. The associated natural geometric integrators, known as symplectic integrators, are then presented. In particular, their ability to numerically reproduce first integrals with a bounded error over a long time interval is shown. The extension to partial differential Hamiltonian systems and to multisymplectic integrators is presented afterwards. Next, the class of Lagrangian systems is described. It is highlighted that the variational structure carries both the dynamics (Euler–Lagrange equations) and the conservation laws (Nœther’s theorem). Integrators preserving the variational structure are constructed by mimicking the calculus of variation at the discrete level. We show that this approach leads to numerical schemes which preserve exactly the energy of the system. After that, the Lie group of local symmetries of partial differential equations is recalled. A construction of Lie-symmetry-preserving numerical scheme is then exposed. This is done via the moving frame method. Applications to Burgers equation are shown. The last part is devoted to the Discrete Exterior Calculus, which is a structure-preserving integrator based on differential geometry and exterior calculus. The efficiency of the approach is demonstrated on fluid flow problems with a passive scalar advection

Proper generalized decomposition for solving coupled heat and moisture transfer

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